Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

Orthogonale rationale functies (ORFs) met vaste polen vormen een natuurlijke veralgemening van orthogonale veeltermen. Talrijke resultaten zijn reeds veralgemeend naar het rationale geval, maar er zijn weinig gevallen waarin expliciete uitdrukkingen gekend zijn voor ORFs. Tevens beperkte het onderzoek van ORFs op een deelset van de reë le as zich tot nu toe voornamelijk tot het geval van rationale functies met reële polen. In het eerste deel van deze thesis leiden we nieuwe expliciete uitdrukkingen af voor ORFs en veralgemenen we bestaande uitdrukkingen naar het geval van willekeurig complexe polen. Vervolgens gebruiken we deze uitdrukkingen om vergelijkingen te bekomen voor de knooppunten en gewichten in rationale kwadratuurformules overeenkomstig de Chebyshev gewichtsfuncties op de complexe eenheidscirkel en op het interval. In het tweede deel veralgemenen we de drie-term recursiebetrekking voor ORFs op een deelset van de reële as naar het geval van willekeurig complexe polen en geven we een Favard-type stelling voor rationale functies gegenereerd door een dergelijke drie-term recursiebetrekking. Als toepassing bestuderen we geassocieerde rationale functies gebaseerd op de drie-term recursiebetrekking met verschoven recursie-coëfficiënten. Vervolgens bewijzen we een relatie tussen ORFs op de complexe eenheidscirkel en op het interval. Om dit gedeelte af te sluiten gebruiken we deze relatie dan om verschillende soorten convergentie te onderzoeken en om asymptotische formules af te leiden voor de recursie-coëfficiënten, voor de ORFs op het interval. Tot slot bestuderen we in het laatste deel van deze thesis het verband tussen ORFs en de rationale Lanczos methode voor Hermitische matrices. Orthogonal rational functions (ORFs) with prescribed poles are a natural generalization of orthogonal polynomials. Many results have already been generalized to the rational case. However, there are less cases in which explicit expressions are known for the ORFs. Moreover, the theory of orthogonality on a subset of the real line has so far been restricted to the case of rational functions with all real poles. In the first part of this thesis, we derive new explicit expressions for ORFs and extend existing expressions to the case of arbitrary complex poles. We then use these expressions to obtain equations for the nodes and weights in rational quadrature formulas associated with the Chebyshev weight functions on the unit circle and on the interval. In the second part, we generalize the three-term recurrence for ORFs on a subset of the real line to the case of arbitrary complex poles, and give a Favard-type theorem for rational functions generated by such a three-term recurrence. As an application, we study associated rational functions based on the three-term recurrence with shifted recurrence coefficients. Next, we prove a relation between ORFs on the unit circle and on the interval. To conclude this part, we then use this relation to study different types of convergence, and to derive asymptotic formulas for the recurrence coefficients, for ORFs on the interval. Finally, in the last part of this thesis we study the relation between ORFs and the rational Lanczos method for Hermitian matrices. Orthogonale rationale functies (ORFs) met vaste polen vormen een natuurlijke veralgemening van orthogonale veeltermen. Talrijke resultaten zijn reeds veralgemeend naar het rationale geval, maar er zijn weinig gevallen waarin expliciete uitdrukkingen gekend zijn voor ORFs. Tevens beperkte het onderzoek van ORFs op een deelset van de reële as zich tot nu toe voornamelijk tot het geval van rationale functies met reële polen. In het eerste deel van deze thesis leiden we nieuwe expliciete uitdrukkingen af voor ORFs en veralgemenen we bestaande uitdrukkingen naar het geval van willekeurig complexe polen. Vervolgens gebruiken we deze uitdrukkingen om vergelijkingen te bekomen voor de knooppunten en gewichten in rationale kwadratuurformules overeenkomstig de Chebyshev gewichtsfuncties op de complexe eenheidscirkel en op het interval. In het tweede deel veralgemenen we de drie-term recursiebetrekking voor ORFs op een deelset van de reële as naar het geval van willekeurig complexe polen en geven we een Favard-type stelling voor rationale functies gegenereerd door een dergelijke drie-term recursiebetrekking. Als toepassing bestuderen we geassocieerde rationale functies gebaseerd op de drie-term recursiebetrekking met verschoven recursie-coëfficiënten. Vervolgens bewijzen we een relatie tussen ORFs op de complexe eenheidscirkel en op het interval. Om dit gedeelte af te sluiten gebruiken we deze relatie dan om verschillende soorten convergentie te onderzoeken en om asymptotische formules af te leiden voor de recursie-coëfficiënten, voor de ORFs op het interval. Tot slot bestuderen we in het laatste deel van deze thesis het verband tussen ORFs en de rationale Lanczos methode voor Hermitische matrices.

517.58 <043> --- 519.64 <043> --- 519.65 <043> --- Academic collection --- 681.3*G<043> --- Special functions. Hyperbolic functions. Euler integrals. Gamma functions. Elliptic functions and integrals. Bessel functions. Other cylindrical functions. Spherical functions. Legendre polynomials. Orthogonal polynomials. Chebyshev polynomials.--Dissertaties --- Numerical methods for solution of integral equations. Quadrature formulae--Dissertaties --- Approximation. Interpolation--Dissertaties --- Mathematics of computing--Dissertaties --- Theses --- 517.58 <043> Special functions. Hyperbolic functions. Euler integrals. Gamma functions. Elliptic functions and integrals. Bessel functions. Other cylindrical functions. Spherical functions. Legendre polynomials. Orthogonal polynomials. Chebyshev polynomials.--Dissertaties