Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

De data rondom ons vertoont heel vaak een hogereordestructuur. In vele gevallen volstaan vectoren en matrices om deze informatie voor te stellen. Tensoren, de hogereorde-uitbreiding van vectoren en matrices, vormen echter een meer natuurlijke voorstelling van deze data. De laatste jaren is de interesse in hogereordestructuren sterk toegenomen. Tensorontbindingen komen tegenwoordig voor in heel uiteenlopende domeinen, gaande van biomedische toepassingen, over signaalverwerking en computerwetenschappen, tot psychometrie en chemometrie. Tensorontbindingen, bijv., de canonieke polyadische ontbinding en multilineaire-rangontbinding, zijn een krachtig hulpmiddel om de relaties binnen data te beschrijven en helpen om nieuwe inzichten te verwerven die niet volgen uit matrixontbindingen. Huidige methoden om tensoren te ontbinden veronderstellen veelal dat de tensor vanaf het begin beschikbaar is en niet verandert doorheen de tijd. In de realiteit blijven deze tensoren echter niet altijd ongewijzigd. Het zijn dynamische elementen gedreven door de veranderingen van de onderliggende systemen, waardoor de overeenkomstige tensorontbindingen ook wijzigen doorheen de tijd. De tijdsbeperking, opgelegd door verschillende toepassingen, en de geheugenbeperking, te wijten aan de omvang van hedendaagse tensoren, motiveren de zoektocht naar adaptieve methoden die tensorontbindingen updaten en volgen. Adaptieve methoden vertrekken vanuit de vorige ontbinding en baseren zich op de verandering van de tensor om de nieuwe ontbinding te bepalen, zonder de volledige tensor te beschouwen. Deze tekst bespreekt de ontwikkeling van drie adaptieve methoden om tensorontbindingen te updaten en volgen. Zowel voor de canonieke polyadische ontbinding als voor de lage-multilineaire-rangbenadering wordt een methode voorgesteld gebaseerd op het oplossen van een niet-lineair kleinstekwadratenprobleem. Daarnaast wordt ook een methode ontwikkeld die vertrekt vanuit het aanpassen van de factormatrices van de multilineaire singulierewaardenontbinding. Deze methoden benaderen de tensor aan de hand van de vorige ontbinding en de nieuwe snede, en bepalen hieruit de nieuwe tensorontbinding op een effici"ente wijze. Numerieke experimenten tonen aan dat de hier ontwikkelde methoden sneller zijn en minder geheugen vereisen dan de niet-adaptieve methoden. Ze presteren daarnaast ook opmerkelijk beter dan andere adaptieve methoden uit de literatuur. De hier ontwikkelde algoritmes hebben een betere nauwkeurigheid en reageren robuust in de aanwezigheid van ruis en grote veranderingen van het achterliggend model.

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

The ARMAX model identification problem is typically solved through nonlinear optimization algorithms, which deliver local optimal solutions. In this thesis, we show that the ARMAX model identification problem is a multiparameter eigenvalue problem and we use the block Macaulay approach to solve it exactly. In contrast to the nonlinear optimization algorithms, our approach, via the block Macaulay matrix, allows us to find the globally optimal point of the identification problem. We started by exploring the available literature related to the multiparameter eigenvalue problem and its application in system identification. There has already been research covering this topic, specifically, Vermeersch & De Moor have provided results for the ARMA problem identification. The current master thesis aims to reach one step further and provide solutions for the more general case, the ARMAX model. Next, we provided a general overview of the multiparameter eigenvalue problem. We started with the standard eigenvalue problem. Then, we moved on to the more complex polynomial eigenvalue problem. Finally, we looked at the multiparameter eigenvalue problem, which is a generalization of the problems previously mentioned. The process to solve these problems can be summarized in three steps: -Use forward shift recursion to create a structured matrix. -Generate the null space of the structured matrix. -Exploit the shift-invariance property of the null space of the structured matrix. After studying the multiparameter eigenvalue problem, we shifted our attention to the identification problem of ARMAX models. We showed that the optimization problem involved to estimate the parameters of the model can be expressed as a multiparameter eigenvalue problem. Then, we developed the procedure to solve this multiparameter eigenvalue problem as a MATLAB toolbox. In addition, we discussed practical elements of the implementation and provided a memory efficient approach based on sparse matrices in MATLAB and the QR decomposition. We compared our method with the default state-of-the-art armax function supported by MATLAB's system identification toolbox. We tested the performance of both methodologies on the models MA(1), MA(2), ARMA(1,1), and ARMAX(1,1,1). We found that, on the one hand, when both methodologies identify the same stationary point, our approach generated a solution with higher precision than its counterpart. On the other hand, when the procedures find different solutions, our method is able to find a stationary local minimal point of the loss function, while the armax function fails to achieve this.