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Pendant deux millénaires, de nombreux mathématiciens ont remis en cause le fait que le cinquième postulat d'Euclide n'est pas une conséquence des quatre premiers. La première partie de ce travail est consacrée à certaines tentatives de démonstration qui ont émané de cette remise en cause et aux réflexions qui ont permis de poser les bases de la géométrie hyperbolique. Le deuxième chapitre porte quant à lui sur l'analyse d'un ouvrage de Gerolamo Saccheri, un mathématicien italien qui était lui aussi persuadé de la démontrabilité du cinquième postulat.
Nous présentons ensuite des notions de géométrie riemannienne, et notamment les géodésiques. Une fois les bases posées, nous cherchons à obtenir les géodésiques dans le modèle de Beltrami-Klein, modèle dans lequel nous vérifions les quatre premiers postulats tout en réfutant le cinquième.

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