Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

In many distributions, natural upper bounds can appear that truncate the probability tail, and ultimately at the largest data, deviations from a Pareto tail behaviour can become apparent. We use the term truncation to indicate that it's only possible to observe outcomes above or below a certain truncation limit. Quite similarly, a truncated distribution is a conditional distribution, which results from restricting the domain of some other probability distribution. In this master's thesis, we're going to direct our attention to one field in particular: we're going to investigate and analyse several estimation techniques for -the existence of- the maximum possible earthquake magnitude in a certain area. We will discuss the Gutenberg-Richter distribution: a doubly truncated exponential distribution which is extremely important in the discussion of earthquake magnitudes. The Gutenberg-Richter model is widely used and has been shown to fit both worldwide and regional earthquake catalogues. Here, we will also discuss some already existing non-parametric estimators for estimating the maximum possible magnitude. The great attraction of these non-parametric estimators is that they do not require any specific functional form for the magnitude distribution. As such, these estimators are able to deal with distributions of any complexity. Next, we'll discuss estimators based on Extreme Value Theory (EVT), which is the branch of statistics that deals with extreme deviations from the median of probability tails. Its primary goal is to find the probability of events that are more extreme than any previously observed. We will present and discuss some famous results in EVT, as well as introduce some of the most commonly used distributions in the domain, like the Generalized Extreme Value (GEV) distribution and the Generalized Pareto Distribution (GPD). In that same context, we'll also discuss some classical empirical tools like the mean excess plot and the Pareto QQ-plot, together with some classical results concerning the estimation of the Extreme Value Index (EVI) such as Hill's estimator, as well as analyse some of the more recent work concerning the estimation of the truncation limit and the EVI. Based on results from EVT, we will discuss a first method which will require the use of a truncated Pareto distribution with a positive tail index and a second more general method, valid for any max-domain of attraction with an EVI >-1/2. For both methods, we'll discuss an estimator for the endpoint, for the EVI and for the quantiles as well. These two methods, as long as certain conditions are fulfilled, can be applied in any field for investigating truncation. In this master's thesis, we also make use of the Gutenberg-Richter law, which serves as a connection between the energy and the magnitudes of earthquakes. Based on several simulations, we concluded that EVT methods can in fact perform better for certain values of k than the non-parametric ones, with k being the amount of largest observations that one uses. We applied all our findings to magnitude data from Groningen, where earthquakes are happening more frequently due to human activity.

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

In het opleidingsonderdeel DIO van de educatieve master wetenschappen en technologie aan KU Leuven stellen multidisciplinaire teams van studenten een project op voor het secundair onderwijs waarin de vier STEM-disciplines geïntegreerd aan bod komen. In voorgaande academiejaren stelde het DIO-onderwijsteam vast dat de wiskundige component vaak minder goed vertegenwoordigd werd in deze DIO-projecten. Om te proberen de wiskundige component in de DIO-projecten te versterken, heeft het didactisch team van DIO dit academiejaar (2022-2023) een wiskundig proefproject (WPP) gelanceerd waaraan vier willekeurig geselecteerde DIO-teams hebben deelgenomen (de MDIO-teams). Deze MDIO-teams hebben de opdracht gekregen om verplicht een bepaald thema en een wiskundige eindterm te verwerken in hun project. Daarbij hebben ze ook bijkomende begeleiding gekregen van een zogenaamde wiskundige coach. Het doel van dit WPP is dat de MDIO-teams door deze maatregelen een sterkere wiskundige component in hun project zouden verwerken. Het is binnen deze context dat dit onderzoek plaatsvindt. Dit onderzoek stelt de volgende onderzoeksvragen: (1) wat zijn de moeilijkheden die de MDIO-teams ondervinden tijdens het uitwerken van hun project, (2) wat betekent het om wiskunde goed te verwerken in de projecten, (3) heeft het WPP een positief effect gehad op de wiskundige component in de MDIO-projecten en hoe kan het WPP verbeterd worden? De volgende onderzoeksactiviteiten werden uitgevoerd: twee focusgesprekken (FG’s) met de MDIO-teams, één FG met de begeleiders van de MDIO-teams, de ontwikkeling van een evaluatie-instrument. De onderzoeksresultaten van deze activiteiten worden in de volgende alinea’s gerapporteerd. Onderzoeksvraag 1. Er werden vijf moeilijkheden vastgesteld bij de MDIO-teams: (1) de MDIO-teams werken hun project geïsoleerd uit, (2) het is moeilijk om de wiskundige component te verwerken als een noodzakelijke bouwsteen, (3) er moeten te veel vakken verwerkt worden in het project, (4) het was te moeilijk (voor één team) om de gegeven eindterm te koppelen aan het gegeven thema en (5) doordat studenten doorheen het academiejaar stoppen met de opleiding, daalt de kwaliteit van het project. Onderzoeksvraag 2. Het ontwikkelde evaluatie-instrument definieert wat het betekent om wiskunde goed te verwerken in de MDIO-projecten. Onderzoeksvraag 3. De MDIO-teams drukken gemengde gevoelens uit over het WPP. De begeleiders van de teams geven aan dat het WPP een positief effect heeft gehad op de wiskundige component in de MDIO-projecten. De beoordeling op basis van het evaluatie-instrument toont dat de wiskundige component goed vertegenwoordigd is in de drie MDIO-projecten. Dit doet vermoeden dat het WPP een positief effect heeft gehad. Dit onderzoek heeft in kaart gebracht wat de problemen zijn waar de DIO-teams mee worstelen wanneer zij een goede wiskundige component in hun project proberen te verwerken. Daarnaast werd er in dit onderzoek een instrument ontwikkeld dat toelaat om te beoordelen hoe sterk de wiskundige component in een DIO-project is. Ten slotte kunnen we op basis van ons onderzoek vermoeden dat het WPP redelijk effectief is geweest, en doet het bovendien nog voorstellen om het WPP te verbeteren. De resultaten uit dit onderzoek kunnen verder gebruikt worden om de integratie van de wiskunde in het iSTEM-onderwijs te versterken.

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

Logica is essentieel de kunst van het correct redeneren. Door de vooruitgang van de wetenschap heeft logica een bredere invulling gekregen en kan het bekeken worden als een studie informatie. Vroeger speelde logica een grote rol in het secundair onderwijs, terwijl het onderwerp nu niet meer expliciet behandeld wordt en enkel ter sprake komt in het correct kunnen weergeven van een redenering. In het bestaande cursusmateriaal over logica wordt het onderwerp formalistisch aangepakt. Er wordt besproken hoe je formules kan manipuleren, maar er wordt weinig aandacht besteed aan wat deze formules betekenen en wat je met deze manipulaties kan bereiken. Wij ontwikkelden een lessenreeks voor de derde graad van het secundair onderwijs die logica op een nieuwe, niet-formalistische manier aanpakt. In deze cursus wordt logica bestudeerd in de bredere invulling van het woord, dat is als studie van informatie. Deze bredere invulling wordt weergegeven in de volgende visie die de basis vormt voor de ontworpen lessenreeks: `Logica als manier om informatie weer te geven in een formele taal en om met deze informatie problemen op te lossen'. De lessenreeks bevat daarom enkele realistische problemen die opgelost kunnen worden door te redeneren met informatie, zoals bijvoorbeeld een lessenroosterprobleem. We lichten de keuzes die gemaakt zijn bij het ontwikkelen van deze lessenreeks toe. Vervolgens hebben we een onderwijsexperiment uitgevoerd waarin de ontwikkelde lessenreeks in de praktijk werd omgezet. Op basis van de resultaten van dit experiment kon de lessenreeks geoptimaliseerd worden en konden we de meningen van de leerkrachten en leerlingen in kaart brengen. Voor dit experiment hebben twee leerkrachten de cursus gebruikt in één van hun klassen. De resultaten van het experiment zijn afkomstig van verschillende bronnen. Ten eerste werden enkele van deze lessen geobserveerd en de bevindingen neergeschreven. Verder hebben de leerlingen die deze lessen volgden twee oefeningen uit de cursus ingediend als test. Nadat de lessenreeks afgewerkt was in hun klas hebben ze ook een vragenlijst ingevuld over hun gevoel bij het cursusmateriaal. Tot slot zijn de leerkrachten na het geven van de lessen geïnterviewd. Uit dit experiment blijkt dat de doelstellingen van de lessenreeks niet allemaal bereikt zijn. De leerlingen hebben noties van het nut van logica en kunnen eenvoudige uitspraken weergeven in logica. Van zodra de uitspraken moeilijker worden, slagen de meeste leerlingen hier niet meer in. Wanneer de leerlingen over informatie beschikken die weergegeven is in logica, kunnen ze over een probleem beginnen redeneren, maar ze zullen niet allemaal tot een oplossing voor het probleem komen. Verder blijkt dat de leerlingen en leerkrachten het cursusmateriaal over het algemeen duidelijk vinden. De leerlingen halen wel aan dat de cursus beter aangepast zou kunnen zijn aan hun interesses. De leerkrachten halen aan dat de link tussen logica en het dagelijks leven nog duidelijker aangebracht kan worden. Uit het onderzoek blijkt ook dat leerkrachten nood hebben aan een meer uitgewerkte leerkrachtenbundel. Als laatste blijkt uit het onderzoek ook dat leerlingen die graag met de computer werken of die aangeven dat ze goed met de computer kunnen werken, logica interessanter en iets minder moeilijk vinden dan leerlingen die dat niet doen. Aan de hand van deze resultaten werd de lessenreeks aangepast. Verbeteringen zijn nog steeds mogelijk.

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

This thesis is a first step in the research on a new mathematical concept in group theory: Reidemeister growth. A group is a mathematical structure with an operation, satisfying certain properties. Think for example of the integers (0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...) with addition. We can divide a group into different classes with an equivalence relation. In the example of the integers, we could for example say that two integers are in the same class if they have the same absolute value. The twisted conjugacy relation is such an equivalence relation and will thus divide a group into classes, which are called Reidemeister classes after the German mathematician Kurt Reidemeister. We can also divide a group into `open balls' which contain an increasing amount of elements of the group when the `radius' increases. Intuitively, Reidemeister growth indicates how the number of Reidemeister classes in an open ball grows when we increase the radius. The goal of this thesis is to gather empirical information on Reidemeister growth in different groups: the k-dimensional integers, the two-dimensional crystallographic groups and the Heisenberg group. The empirical information is obtained by writing algorithms in GAP, a system specialized in working with groups. The results of these algorithms can be used in further research as a starting point to find theoretical results.

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

A group G is a set with an operation such as addition. It suffices some axioms. The integers Z are an example of a group with addition. Each group has a zero element. Suppose we have a group H which lies in the set/group G, we call H a subgroup. The multiples of three 3Z is for example a subgroup of Z. We can now consider a new group where H accounts for one element, namely the new zero element. The group consists of H and its translations in G. Note that this construction is not always meaningful. The new group is for example the group of three elements consisting if the zero element 3Z and the multiples of three plus one (3Z+1) or plus two (3Z+2). This construction is called a quotient group. The quotient in our example is finite, since there are only three elements. Suppose G has the following property: for each non-zero element g in G, we can find a finite quotient such that g is not part of the zero element H. If so, we say G is residually finite. In this thesis we pose the next question: If G is residually finite and g is non-zero, how small can we take a finite quotient such that g does not lie in the zero-element of that quotient? If we take the number six, then it is part of the zero element 3Z of the finite quotient above. In fact, a finite quotient with six not in its zero element will need to have at least four elements. This is also sufficient: take the multiples of four (4Z) as H, we obtain a finite quotient of four elements, namely (4Z, 4Z+1, 4Z+2, 4Z+3), and six is no multiple of four. The answer to this question is captured in the notion of residual finiteness growth, a function. We calculate this function for some classes of groups. The groups we discuss are linear groups: groups that can be seen as subgroups of the invertible matrices over some field (with multiplication). Specifically, we consider groups that can be build from the m-dimensional integers Z^m via some construction named extension. We focus primarily on semidirect product Z^m with Z and finite extensions of Z^m. For the semidirect products we give a classification for the case where m is equal to one or two. For the finite extensions, we develop some tools which we then apply to find the residual finiteness growth on some crystallographic groups.