Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

A lot of physical systems are described by a set of differential equations, equations that relate one or more functions and their derivatives. Examples are radioactive chains of decay, fluid motion, projectile motion, etc. In some specific cases these differential equations are explicitly solvable, resulting in a well-understood and exact analytical form of the solution. Most of the time however, they are not. Particularly for nonlinear equations, equations that are not a linear equation in the unknown function and its derivatives, there are very few methods for exact solving. Physicists therefore have to resort to other methods to solve the problem at hand to gain insight into the physical system of interest. One course of action is solving the equations numerically, which means making guesses at the solution and testing whether this solution solves the problem well enough before stopping. There is extensive research and a vast number of methods for solving differential equations numerically and for most purposes this numerical solution is more than enough. However, through solving an equation numerically, part of the information is lost. A numerical solution does not have the practicability of an analytical solution, because the attainability to perform certain operations increases in difficulty. Examples are derivations and integrations, calculating roots, etc. which can only be performed on an analytical function. When working numerically, one has to find a way around this problem by using numerical methods. These are mathematical tools designed to solve numerical problems, implemented by a numerical algorithm. However, when it is impossible (or simply too time-consuming) to solve the differential equation explicitly, it is also possible to resort to analytical approximation. An analytical approximation, as opposed to solving the problem numerically, has the advantages of an explicit analytical solution, because it finds an approximate solution in an analytical form, without having to tackle the difficulty (or even impossibility) of explicitly solving the differential equation. Far fewer methods and research are available regarding analytical approximation. A promising new method is the Beyond-Linear-Use-Of-Equation-Superposition (BLUES) function method. This method serves to approximate nonlinear differential equations analytically through a related linear differential equation and a specifically crafted iteration procedure. In this thesis, the aforementioned method is outlined as well as applied to the field of condensed matter physics. The p-n junction, the interface between two types of semiconductor materials and subject of extensive research, is the focus of this thesis as a first extension of the BLUES function method into the field of condensed matter physics. Through comparison with numerical simulations, the method's aptitude is put to the test. The results from the BLUES function method are found to be in agreement with numerical simulations for simple models of the p-n junction. More complex models are also discussed. The capability of the method is illustrated, as well as restraints on the method's application of the p-n junction along with possible improvements. The prospect of delving further into condensed matter physics is also discussed.

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

The experimental work presented in this thesis can be divided into two main parts: one part concerning phase transitions in pure liquid crysalline systems and an other part regarding liquid crystalline mixtures with nonmesogenic sollutes. All experimental results were obtained by Adiabatic Scanning Calorimetry. First two ferroelectric liquid crystals were studied: S-(-)-4-(2’-methylbutyloxy)phenyl 4-n-octyloxybenzoate and S-(-)-2-methylbutyl 4-n-nonanoyloxybiphenyl-4’-carboxylate. The experiments showed that no latent heat was present for the smectic A to smectic C* (AC*) transition to within the experimental resolution. Therefore the AC* transition in both samples could be classified as a continuous one. By fitting the specific heat data we showed that this phase transition could be described by an extended mean field model augmented with Gaussian fluctuation terms in the specific heat capacity expression. The second pure system investigated in this thesis was the liquid crystal 4-butyloxyphenyl-4’-decyloxybenzoate with the emphasis on the nematic to smectic A (NA) and the nematic to isotropic (NI) phase transitions. Because of the high resolution ASC technique used in this investigation we were able to accurately determine the latent heat of the first order NI transition. The NA transition was found to be a continuous one within the experimental resolution and the value of the effective specific heat capacity critical exponent, a, was found to be 0.23 ± 0.01, thus between the 3D XY and tricritical value. In a last part the effect of nonmesogenic impurities on the order of the nematic to smectic A phase transition was studied in a liquid crystal. Three different nonmesogenic impurities being biphenyl, cyclohexane and water were added to a liquid crystal, octylcyanobiphenyl (8CB), resulting in three different conclusions. The NA transition in pure 8CB is continuous and for all concentrations of biphenyl studied this transition remained continuous. The effective specific heat critical exponent decreased from 0.31±0.03 for pure 8CB down to 0.08±0.03 for the highest mole fraction of biphenyl studied, x=0.1415. For mixtures of 8CB and cyclohexane, however, crossover from continuous to first order is observed at a tricritical point of the mole fraction, x, of cyclohexane around 0.0460. After investigating mixtures of 8CB and water, the effective critical exponent increased up to 0.36±0.03 for mixtures with a mole fraction of water x=0.1105 and it remained constant for all higher concentrations studied (up to x=0.3509). By means of visual inspection of the samples we were able to conclude that for mixtures with a mole fraction of water higher than x=0.10, phase separation occured. The difference between these three systems and the crossover from continuous to first order for the system 8CB and cyclohexane was explained in terms of a mean field free energy density expression including coupling terms of the mole fraction, x, with the nematic and smectic A order parameters. Vloeibare kristallen vormen sinds hun ontdekking in 1880 een interessante onderzoekstopic zowel op experimenteel als theoretisch niveau. Het intrigerende aan vloeibare kristallen is dat ze tussen de vaste en vloeibare fase, fasen van gedeeltelijke ordening vertonen. Dankzij deze “mesofasen” kunnen vloeibare kristallen aangewend worden voor vele praktische toepassingen waaronder het LCD-scherm de meest gekende is. Het doel van dit thesisonderzoek was om faseovergangen tussen deze mesofasen te karakteriseren. In het algemeen kan een faseovergang van de eerste orde of continu zijn. Een eerste-orde faseovergang wordt gekenmerkt door een sprong in de enthalpie als functie van de temperatuur. Al naargelang de grootte van deze sprong kan een eerste-orde faseovergang kwalitatief opgedeeld worden in sterk of zwak eerste orde. Voor een continue faseovergang zal de enthalpie als functie van de temperatuur een continu verloop vertonen. Continue faseovergangen kunnen opgedeeld worden in verschillende universaliteitsklassen. Met iedere universaliteitsklasse worden kritische exponenten geassocieerd en de waarden van deze kritische exponenten bepalen het gedrag van een systeem in de buurt van een faseovergang. Overgangen die tot dezelfde universaliteitsklasse behoren zullen bijgevolg ook hetzelfde kritische gedrag vertonen. De meettechniek die gebruikt wordt in dit doctoraal onderzoek is adiabatische scanning calorimetrie (ASC). Aan de hand van deze hoge-resolutie techniek kunnen we zowel de enthalpie als de soortelijke warmtecapaciteit in functie van de temperatuur van een meetmonster opmeten, wat toelaat om de relevante kritische exponent te bepalen. De experimentele resultaten kunnen opgedeeld worden in twee delen. Een eerste deel behandelt faseovergangen in zuivere vloeibare kristallen. De smectische A-smectische C* overgang in twee ferroëlektrische vloeibare kristallen (D1, D2) werd bestudeerd. De resultaten toonden aan dat deze faseovergang continu was (binnen de experimentele resolutie) en dat deze overgang het best beschreven kon worden aan de hand van een gemiddelde-velduitdrukking die termen tot de zesde graad in de ordeparameter bevat. Verder bestudeerden we de nematische-isotrope (NI) en nematische-smectische A (NA) faseovergang in het vloeibare kristal 10O4. De NI-overgang kon geclassificeerd worden als zwak eerste orde. De NA-overgang was continu met een kritische exponent die een waarde had tussen deze van het 3D XY model en de trikritische waarde. Dit kon verklaard worden door de koppeling tussen de nematische en smectische A ordeparameters. In een tweede deel wordt de invloed van niet-mesogene onzuiverheden op de NA-overgang in een vloeibare kristal (8CB) onderzocht. Theoretisch werd er reeds gesteld dat het toevoegen van niet-mesogene onzuiverheden een invloed zou kunnen hebben op de orde van de faseovergang, dit werd echter nog niet experimenteel bevestigd. De NA-overgang in het zuivere systeem 8CB werd reeds uitvoerig bestudeerd in het verleden: ook hier werd er experimenteel een waarde voor de kritische exponent gevonden tussen de 3D XY en trikritische waarde. Er werden binaire mengsels van het vloeibare kristal 8CB met drie verschillende niet-mesogene onzuiverheden bestudeerd: bifenyl, cyclohexaan en water. In het geval van 8CB en bifenyl bleef de overgang continu en naarmate de concentratie van bifenyl steeg nam de waarde van de kritische exponent af. Voor 8CB en cyclohexaan vond er een overgang van continu naar eerste orde plaats: naarmate de concentratie van cyclohexaan steeg naderde de kritische exponent de trikritische waarde van 0.5 en vervolgens werd de overgang (zwak) eerste orde. Voor 8CB en water bleef de overgang ook continu. Er werd een kleine stijging van de kritische exponent voor een molaire fractie van water van x=0.1105 waargenomen en voor hogere concentraties bleef de kritische exponent constant. Door middel van een visualisatie-experiment van een reeks nieuwe mengsels konden we aantonen dat er voor mengsels met een molaire fractie van water groter dan x=0.10 fasescheiding optrad. Het verschil tussen deze drie systemen werd uitgelegd aan de hand van een gemiddelde-velduitdrukking voor de vrije energie dichtheid die koppelingstermen bevatte tussen de molaire fractie en de nematische en smectische A ordeparameters.

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

In deze thesis geven we een theoretische studie van de oppervlakte- en de grensvlakfysica van ultrakoude gassen met speciale aandacht voor Bose-Einstein condenaten (BEC). In het eerste hoofdstuk van de thesis geven we een algemene methode waarmee de statica, en voor sommige gevallen ook de dynamica van ultrakoude gassen kunnen bestudeerd worden bij temperatuur nul. We troffen een oneindige ontaarding van de grondtoestand aan voor homogene BEC mengelingen wanneer de relative interactieparameter K, die proportioneel is aan de koppelingsconstante voor de interacties tussen de twee gassen, voldoet aan de relatie K=1. Door een vergelijking met fermionische mengelingen werd het punt K=1 geïdentificeerd als een kritisch punt. In hoofdstuk 3 geven we een formele definitie van de exces energie voor mengelingen van BEC gassen waarop we ons verder baseren bij het definitiëren van de grensvlak- en oppervlaktespanning. Vervolgens presenteren we perturbatieve berekeningen die ons leiden tot analytische uitdrukkingen voor de grensvlakspanning en de oppervlaktespanning voor een BEC gas nabij een harde en een zachte wand; deze uitdrukkingen worden gebruikt doorheen de rest van het werk. Het belangrijkste resltaat is vervat in hoofdstuk 4 waar we de wetting faseovergangen van BEC mengelingen nabij harde en zachte wanden bespreken. Voor willekeurige waarden van het oppervlakteveld L2/L1 (met L1 and L2 de helingslengten van fase 1 en 2 respectievelijk), zal een faseovergang van partiële naar complete wetting onvermijdelijk zijn wanneer we het kritisch punt K=1 naderen. In het geval van harde opsluitingswanden is deze overgang van eerste orde bij coëxistentie en we vinden wederom de bijzondere eigenschap dat voor het systeem oneindig ontaard is bij de faseovergang. Immers, alle mogelijke geadsorbeerde lagen kunnen bestaan bij dezelfde energie. Bovendien ontdekten we dat de eerste-orde overgang bij coëxistentie zich verderzet weg van coëxistentie als een tweede-orde overgang. We geven exacte analytische resultaten voor de fasediagramma's. Wanneer we daarentegen zachte, in plaats van harde wanden gebruiken, treffen we zowel eerste- als tweede-orde overgangen aan bij coëxistentie. Bovendien is het systeem met zachte wanden volledig bepaald door slechts één bijkomende parameter, die, door geschikte aanpassing, toelaat het wetting gedrag voor harde wanden te recupereren. De wetting overgang voor BEC mengelingen nabij harde wanden werd dan verder uitgewerkt in hoofdstuk 5 door middel van een studie van de grensvlakpotentiaal V(l) dewelke een functie is die een configuratie met geadsorbeerde laag van dikte l spiegelt op zijn exces energie. We concluderen dat het grensvlak en de harde wand interageren via korte-dracht interacties daar (in bijna alle gevallen), de grensvlakpotentiaal exponentieel snel convergeert met l wanneer l groot is. We treffen ook zowel numeriek als analytisch de oneindige ontaarding aan voor wetting bij coëxistentie. Exacte resultaten voor zwak ontmengde BEC gassen laten ons toe een berekening te maken van de lijnspanning. Hoofdstuk 6 is volledig gewijd aan de correcties op de gemiddelde-veld resultaten voor mengelingen van ultrakoude gassen nabij harde wanden en bij eindige temperatuur. Zo vonden we ondermeer bij temperatuur nul dat de dichtheid van de deeltjes buiten het condensaat (de depletie), nul wordt nabij een harde wand. Daarentegen is die dichtheid hoger dan in de bulk voor hoge temperaturen. Verder, door gebruik van een hydrodyamische aanpak bekwamen we uitdrukkingen voor de temperatuursafhankelijkheid van de grensvlakspanning voor ultrakoude gassen. Voor het geval van BEC mengelingen is de temperatuursafhankelijkheid slechts zeer zwak. Eveneens stellen we fasediagramma's op die Bose mengelingen beschrijven bij eindige temperatuur. Het derde deel van de thesis handelt over mengelingen met fermionen. In analogie met de BEC mengelingen vonden we in hoofdstuk 7 een voorlopig fasediagramma voor fermion-boson mengelingen en bekwamen we een uitdrukking voor de fermion-boson grensvlakspanning. Tenslotte bestuderen we in hoofdstuk 8 de transporteigenschappen van het grensvlak gevormd tussen een normale en een supervloeibare fase zoals men die recentelijk observeerde in experimenten met gepolarizeerde fermionische gassen. We troffen een rijk botsingsgedrag aan voor normale deeltjes die op het grensvlak invallen. Bijvoorbeeld, niet enkel Andreev reflectie maar ook normale speculaire reflectie speelt een belangrijke rol. Desalniettemin heeft de brede waaier aan botsingsmogelijkheden amper invloed op onze belangrijkste bevinding: de thermische conductiviteit van het grensvlak daalt exponentieel sterk als functie van 1/T voor dalende temperatuur T. Betreffende de mogelijke perspectieven van dit werk, werd in hoofdstuk 4.4 geargumenteerd dat, door gebruik te maken van de recente vorderingen in de experimentele studie van ultrakoude gassen, het mogelijk is om de wetting bij Bose mengelingen te realizeren. Meer in het bijzonder kan men "evanescent wave prisms" gebruiken voor het benaderen van de zachte wand en de Feshbach resonanties voor het aanpassen van de deeltjesinteracties. Vanuit een theoretisch oogpunt zijn er verschillende onderwerpen waard om verder uitgewerkt te worden. Daarbij denken we vooral aan de bulk en oppervlaktefysica voor Bose mengelingen bij eindige temperaturen, het uitpluizen vanuit wiskundig standpunt van de eerder genoemde oneindige ontaarding, het wetting gedrag bij boson-fermion mengelingen en tenslotte de kwantumfluctuaties van het grensvlak tussen twee Bose gassen. In this thesis, a theoretical study was done of the surface and interface physics of ultracold gases with a special emphasis on Bose-Einstein condensates. In chapter 2, we proposed a general method by which both the statics and, for some cases, also the dynamics of several mixtures of ultracold gases can be studied at zero temperature. An infinite degeneracy for the ground state of homogeneous BEC mixtures was encountered when the relative interaction parameter K, which is proportional to the interspecies interaction coupling, satiesfies the condition K=1. By a comparison with the fermion-fermion mixture, this very point was identified to be a critical rather than a triple point. Furthermore, in chapter 3, we gave a formal definition of the excess energy for a mixture of BEC gases on which we then based our definitions of the surface and the interface tension. This was followed by perturbative calculations yielding expressions for the interface tension and for the surface tension for a BEC gas near a hard and a soft wall; these expressions were of use throughout the rest of the thesis. Our main results are contained in chapter 4, the topic of which are wetting phase transitions of binary BEC gases near soft and hard walls. It is found that for arbitrary value of the surface field L2/L1 (where L1 and L2 are the density healing lengths of phase 1 and 2 respectively), a transition from partial to complete wetting is unavoidable upon approach of the demixing value K=1. In the case of hard walls, this transition is of first order at coexistence and again, we find the odd property that for each value of L2/L1 and K on the wetting line, the system is infinitely degenerate. Indeed, at wetting, all adsorbed layers may exist and have the same grand potential. Moreover, the first-order transition at coexistence extends as a critical (nucleation) transition off coexistence. We give exact analytical results for the phase diagrams. If, on the other hand, we soften the hard confining walls to exponentially-decaying surface potentials with characteristic decay lengths lambda1 and lambda2, so that lambda1<0.3 en lambda2/L2<0.3, critical as well as first-order wetting are encountered at coexistence and only one extra parameter determines the entire wetting behavior. To a good approximation, the anomalous wetting for hard walls can be recovered by tuning this extra parameter to zero. The wetting for binary BEC gases near hard walls is then further elaborated in chapter 5 by a study of the interface potential V(l) which is a function that maps the configuration with adsorbed layer thickness l to its excess energy. We conclude that the interface and the hard wall interact via short-range interactions since (in all but one case), the interface potential converges exponentially fast as a function of l for large l. Also, we regain the infinite degeneracy for wetting at coexistence both numerically as well as analytically. Exact results for weakly segregated BEC gases enabled a determination of the line tension. Chapter 6 is devoted to the beyond-mean-field corrections for binary systems near hard walls and at finite temperature. The density of quantum depleted particles at zero temperature is found to vanish at the wall although one may expect the inverse to occur as the Hartree interaction with the condensate is minimal at the surface. On the other hand, the density of thermal depletion at high temperature. Furthermore, by a hydrodynamical approach we obtained expressions for the temperature-dependent interface tension for interfaces between ultracold gases. However, for the case of BEC mixtures, the temperature-dependence is very weak and gives a negligible contribution within the range of validity of the Gross-Pitaevskii formalism. Lastly, we established the phase diagrams which describe Bose mixtures at finite temperature. Part three of the thesis involves mixtures with fermions. In analogy with the BEC mixtures, we find the (tentative) wetting phase diagrams of the fermion-boson mixture in chapter 7, which are rather easily obtained since we found an exact expression for the boson-fermion interface tension (within a local density approach for the fermions). Finally, we study in chapter 8 the transport properties through the normal-superfluid (N-SF) interfaces as they appear in recent experiments on ultracold polarized fermion gases. We find a rich scattering behavior for normal particles which are incident on the N-SF interface; for example, not only Andreev scattering off the interface occurs but also specular reflection. However, this broad variety in scattering mechanisms which appears at strong coupling seems not to influence our main finding: the (Kapitza) thermal conductivity across the interface drops exponentially fast as a function of 1/T upon decreasing the temperature T. Concerning possible perspectives of this work, we emphasize first of all that it is argued in Sect. 4.4 that, by use of recent advances in the experimental studies on ultracold gases, wetting in mixtures of BEC should be realizable. In particular, evanescent wave prisms approximate well soft walls and Feshbach resonances are very powerful tools by which interparticle interactions can be tuned. From a theoretical point of view, several topics which are treated here should be interesting to elaborate, such as for example the finite temperature bulk and surface physics of BEC mixtures. Among others we mention the mathematical study of the symmetry underlying the infinite degeneracy, wetting for boson-fermion mixtures and quantum fluctuations of the interface between two BEC phases. Oppervlaktefenomen in klassieke vloeibare en gasvormige systemen zijn reeds lang het onderwerp van intensieve experimentele en theoretische studies (zowel analytisch als simulationeel). Reeds enkele decennia spitst dit onderzoek zich vooral toe op de singulariteiten die aanwezig zijn in de thermodynamische grootheden nabij faseovergangen. De aanwezigheid van een oppervlak verandert de structuur van de faseovergang van bv. gas naar vloeibaar zoals we die kennen voor een oneindig homogeen systeem. Inderdaad, algemeen genomen zal nabij een bulk kritisch punt eerst een bevochtiging of wetting van het oppervlak plaatsvinden. Cahn verwierf voor het eerst het inzicht dat dit fenomeen eveneens een faseovergang is en dit leidde tot de boeiende voorspelling van zowel eerste-orde als hogere-orde faseovergangen. Sindsdien leidt de confrontatie van experimenten en simulaties met theoretische modelleringen tot steeds nieuwe inzichten, alsook tot op heden onopgeloste controverses. Wettingtheorie is tot hiertoe veelal beperkt tot de fysica van klassieke systemen. Hierdoor ontstond de vraag of nieuwe fenomenen opduiken bij het bestuderen van systemen die beheerst worden door macroscopische kwantumtoestanden. Door onze onderzoeksgroep werd in 1995 voorspeld dat in type-I supergeleiders de vorming van een supergeleidende laag tussen de normale fase en het oppervlak in een parallel extern magnetisch veld kan plaatsvinden als wetting-faseovergang. In het kader van het uitgevoerde doctoraat werd theoretisch voorspeld dat een bijzonder type van wetting en prewetting fasediagram optreedt voor mengsels van ultrakoude Bose-Einsteingassen nabij een optische potentiaalwand. Tevens zijn er op dit terrein realistische perspectieven voor experimentele verificatie. Ten tweede wordt in de thesis geargumenteerd dat, door de aanwezigheid van grensvlakken tussen normale en supervloeibare gassen, een temperatuursverschil kan ontstaan tussen de normale en de supervloeibare fasen. Hiermee bieden we een mogelijke verklaring voor de, tot hiertoe onverklaarde recentelijke experimenten met gepolarizeerde fermionische gassen.