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Tessellations (Mathematics) --- Combinatorial analysis --- Mosaics (Matemàtica)

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The aim of the book is to study symmetries and tesselation, which have long interested artists and mathematicians. Famous examples are the works created by the Arabs in the Alhambra and the paintings of the Dutch painter Maurits Escher. Mathematicians did not take up the subject intensively until the 19th century. In the process, the visualisation of mathematical relationships leads to very appealing images. Three approaches are described in this book. In Part I, it is shown that there are 17 principally different possibilities of tesselation of the plane, the so-called "plane crystal groups". Complementary to this, ideas of Harald Heesch are described, who showed how these theoretical results can be put into practice: He gave a catalogue of 28 procedures that one can use creatively oneself - following in the footsteps of Escher, so to speak - to create artistically sophisticated tesselation. In the corresponding investigations for the complex plane in Part II, movements are replaced by bijective holomorphic mappings. This leads into the theory of groups of Möbius transformations: Kleinian groups, Schottky groups, etc. There are also interesting connections to hyperbolic geometry. Finally, in Part III, a third aspect of the subject is treated, the Penrose tesselation. This concerns results from the seventies, when easily describable and provably non-periodic parquetisations of the plane were given for the first time. The Contents Part I: Escher seen over the shoulders- Part II: Möbius transformations - Part III: Penrose tesselation The Author Prof. Dr. Ehrhard Behrends, Free University of Berlin, Department of Mathematics and Computer Science, is the author of numerous mathematical textbooks and popular science books. .

Mathematics --- wiskunde

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In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so transparent wie möglich gemacht. Während der Vorbereitung gab es eine besonders intensive Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden; alles, was ihrer Meinung nach zum besseren Verständnis hätte gesagt werden können, ist aufgenommen worden. Das Buch enthält viele Übungsaufgaben, deren ausführliche Lösungen als Online-Service zum Buch auf der speziell dafür eingerichteten Internetseite zu finden sind. Das Buch ist auch zum Selbststudium geeignet. Schon im Text gibt es zahlreiche Fragen zum Mitdenken, und nach jedem Kapitel findet man - für spätere Prüfungsvorbereitungen - eine Sammlung von Verständnisfragen. Es werden auch viele Fragen angesprochen, die nicht direkt zur Analysis gehören: Grundlagen der Logik, Computeralgebrasysteme, Mathematik und Realität usw. Online-Service: www.math.fu-berlin.de/~behrends/analysis.

Mathematical analysis. --- Analysis (Mathematics). --- Analysis.

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In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so transparent wie möglich gemacht. Während der Vorbereitung gab es eine besonders intensive Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden; alles, was ihrer Meinung nach zum besseren Verständnis hätte gesagt werden können, ist aufgenommen worden. Das Buch enthält viele Übungsaufgaben, deren ausführliche Lösungen als Online-Service zum Buch auf der speziell dafür eingerichteten Internetseite zu finden sind. Das Buch ist auch zum Selbststudium geeignet. Schon im Text gibt es zahlreiche Fragen zum Mitdenken, und nach jedem Kapitel findet man - für spätere Prüfungsvorbereitungen - eine Sammlung von Verständnisfragen. Es werden auch viele Fragen angesprochen, die nicht direkt zur Analysis gehören: Grundlagen der Logik, Computeralgebrasysteme, Mathematik und Realität usw. Online-Service: www.math.fu-berlin.de/~behrends/analysis.

Mathematical analysis. --- Analysis (Mathematics). --- Analysis.

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In diesem Lehrbuch werden einige Themen aus der Stochastik behandelt, die auf dem Begriff des Markovprozesses aufbauen. Dabei sind Markovprozesse stochastische Prozesse, für welche die Prognose für das zufällige Verhalten in der Zukunft nur von der gegenwärtigen Position abhängt. Die zentralen Begriffe der Markovprozesse werden anschaulich erklärt und mit Beispielen motiviert. Der Text beschäftigt sich danach mit der Brownschen Bewegung, stochastischen Integralen und stochastischen Differentialgleichungen und beschreibt ausführlich die fundamentale  Ito-Formel. Eine der klassischen Anwendungen von stochastischen Differentialgleichungen sind Monte-Carlo-Verfahren zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen. In den beiden letzten Kapiteln werden einige der grundlegenden Begriffe der Finanzmathematik eingeführt  und es wird gezeigt, wie man Methoden der stochastischen Differentialgleichungen erfolgreich einsetzen kann, um Optionen korrekt zu bewerten (Black-Scholes-Formel). Der Inhalt Vorbereitungen - Markovprozesse - Markovketten - Optimales Stoppen auf Markovketten - Die Brownsche Bewegung - Stochastische Differentialgleichungen - Die Ito-Formel - Monte-Carlo-Verfahren - Finanzmathematik - Black-Scholes-Formel Die Zielgruppen Studierende der Mathematik ab dem 4./5.  Semester Studierende aller Fachrichtungen, in denen Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik eine Rolle spielen Praktiker in dem Bereich Finanzmathematik Der Autor Prof. Dr. Ehrhard Behrends ist Professor für Mathematik an der Freien Universität Berlin. Er ist Autor und Herausgeber zahlreicher Lehrbücher und populärer Bücher.

Probabilities. --- Applied mathematics. --- Engineering mathematics. --- Probability Theory and Stochastic Processes. --- Applications of Mathematics.