Abstract | Keywords | Export | Availability | Bookmark

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

Voor een belangrijke klasse meerschalige problemen bestaat er een scheiding van schalen tussen het beschikbare (microscopische) model en het (macroscopische) niveau waarop we het systeem wensen te bestuderen. Voor tijdsafhankelijke meerschalige problemen van dit type hebben Kevrekidis et al. een zogenaamd ``vergelijkingsvrij" raamwerk opgesteld, gebaseerd op het idee van een ``macroscopische tijdstapper". Wij bestuderen in dit raamwerk methodes die een ongekende macroscopische parti"ele differentiaalvergelijking kunnen benaderen aan de hand van gepast ge"initialiseerde microscopische simulaties in een aantal kleine deelgebieden van het ruimte-tijddomein. De bekomen methode is veel effici"enter dan een directe simulatie met het microscopische model. We analyseren, zowel theoretisch als met numerieke experimenten, het gedrag van de methode. Op basis van deze analyse stellen we verschillende verbeteringen voor. We tonen ook hoe we de bekomen tijdstapper kunnen gebruiken voor de analyse van bijvoorbeeld lange-termijnevenwichten. Tenslotte bespreken we een aantal experimenten waarbij het microscopische model stochastisch is. For an important class of multiscale problems, a separation of scales exists between the available (microscopic) model and the (macroscopic) level at which one would like to observe and analyze the system. For time-dependent multiscale problems of this type, Kevrekidis et al. developed a so-called ``equation-free'' framework, based on the idea of a so-called coarse-grained time-stepper. The patch dynamics scheme is a coarse-grained time-stepper which approximates the time evolution of a set of spatially distributed macroscopic variables for which the governing partial differential equation (PDE) is not (or only approximately) available; the scheme only performs appropriately initialized simulations using the available microscopic model in small portions of the space-time domain (the patches). We analyze the patch dynamics scheme for a class of parabolic homogenization problems. We show that the scheme approximates a finite difference scheme for the unavailable macroscopic equation when suitable boundary constraints are imposed on the microscopic simulations. Since this is generally not possible in practice, we introduce a modified scheme, which uses buffer regions around the patches. This allows to impose standard boundary conditions without affecting the microscopic solution inside the patches. We prove convergence for diffusion homogenization problems, and show numerically that the scheme can also be used for hyperbolic and higher order problems. We also formulate and analyze a finite volume variant for hyperbolic problems. Once a coarse-grained time-stepper has been constructed, it can readily be used as input for time-stepper based numerical bifurcation algorithms. We construct a Newton--GMRES method for the coarse-grained computation of travelling waves of lattice Boltzmann models. We accelerate the convergence of the GMRES iterations by means of a preconditioner, which is based on an approximate macroscopic PDE. We conclude with some numerical experiments in which the microscopic model is a stochastic particle-based model. We show that, in this case, one can only obtain accurate results when appropriate variance reduction techniques are used. This issue will require further investigation. Voor een belangrijke klasse meerschalige problemen bestaat er een scheiding van schalen tussen het beschikbare (microscopische) model en het (macroscopische) niveau waarop we het systeem wensen te bestuderen. Voor tijdsafhankelijke meerschalige problemen van dit type hebben Kevrekidis et al. een zogenaamd ``vergelijkingsvrij" raamwerk opgesteld, gebaseerd op het idee van een ``macroscopische tijdstapper". Wij bestuderen in dit raamwerk methodes die een ongekende macroscopische parti"ele differentiaalvergelijking kunnen benaderen aan de hand van gepast ge"initialiseerde microscopische simulaties in een aantal kleine deelgebieden van het ruimte-tijddomein. De bekomen methode is veel effici"enter dan een directe simulatie met het microscopische model. We analyseren, zowel theoretisch als met numerieke experimenten, het gedrag van de methode. Op basis van deze analyse stellen we verschillende verbeteringen voor. We tonen ook hoe we de bekomen tijdstapper kunnen gebruiken voor de analyse van bijvoorbeeld lange-termijnevenwichten. Tenslotte bespreken we een aantal experimenten waarbij het microscopische model stochastisch is. For an important class of multiscale problems, a separation of scales exists between the available (microscopic) model and the (macroscopic) level at which one would like to observe and analyze the system. For time-dependent multiscale problems of this type, Kevrekidis et al.~developed a so-called ``equation-free'' framework, based on the idea of a so-called coarse-grained time-stepper. In this framework, we study methods that allow to approximate an unavailable macroscopic partial differential equation, using only appropriately initialized microscopic simulations in a number of small regions in the space-timedomain (the patches). The resulting method is much more efficient than a straightforward simulation using the microscopic model. We analyse the behaviour of the method, both theoretically and with numerical experiments. Based on this analysis, we suggest a number of improvements. We also show how one can use this scheme to study long-term equilibria directly, en conclude with some experiments in which the microscopic model is stochastic.

Academic collection --- 519.63 <043> --- 681.3*I6 <043> --- 681.3*G18 <043> --- Numerical methods for solution of partial differential equations--Dissertaties --- Simulation and modeling (Computing methodologies)--See also {681.3*G3}--Dissertaties --- Partial differential equations: difference methods; elliptic equations; finite element methods; hyperbolic equations; method of lines; parabolic equations (Numerical analysis)--Dissertaties --- Theses --- 681.3*G18 <043> Partial differential equations: difference methods; elliptic equations; finite element methods; hyperbolic equations; method of lines; parabolic equations (Numerical analysis)--Dissertaties --- 681.3*I6 <043> Simulation and modeling (Computing methodologies)--See also {681.3*G3}--Dissertaties --- 519.63 <043> Numerical methods for solution of partial differential equations--Dissertaties